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Linee parallele. Proprietà e segni delle rette parallele. Segni di rette parallele Segni di rette parallele ad angoli corrispondenti
1. Se due linee sono parallele a una terza linea, allora sono parallele:
Se UN||C E B||C, Quello UN||B.
2. Se due linee sono perpendicolari alla terza linea, allora sono parallele:
Se UN⊥C E B⊥C, Quello UN||B.
Gli altri segni di parallelismo delle linee si basano sugli angoli formati quando due linee rette si intersecano con una terza.
3. Se la somma degli angoli interni unilaterali è 180°, allora le rette sono parallele:
Se ∠1 + ∠2 = 180°, allora UN||B.
4. Se gli angoli corrispondenti sono uguali, le linee sono parallele:
Se ∠2 = ∠4, allora UN||B.
5. Se gli angoli trasversali interni sono uguali, le linee sono parallele:
Se ∠1 = ∠3, allora UN||B.
Proprietà delle rette parallele
Le affermazioni inverse alle proprietà delle rette parallele sono le loro proprietà. Si basano sulle proprietà degli angoli formati dall'intersezione di due linee parallele con una terza linea.
1. Quando due rette parallele intersecano una terza retta, la somma degli angoli interni unilaterali da esse formati è pari a 180°:
Se UN||B, allora ∠1 + ∠2 = 180°.
2. Quando due linee parallele intersecano una terza linea, gli angoli corrispondenti da esse formati sono uguali:
Se UN||B, allora ∠2 = ∠4.
3. Quando due linee parallele intersecano una terza linea, gli angoli trasversali che formano sono uguali:
Se UN||B, allora ∠1 = ∠3.
La seguente proprietà è un caso speciale per ciascuna delle precedenti:
4. Se una linea su un piano è perpendicolare a una delle due linee parallele, allora è anche perpendicolare all'altra:
Se UN||B E C⊥UN, Quello C⊥B.
La quinta proprietà è l'assioma delle rette parallele:
5. Per un punto che non giace su una linea data si può tracciare una sola linea parallela alla linea data.
La video lezione “Segni per il parallelismo di due rette” contiene la dimostrazione di teoremi che descrivono i segni che indicano il parallelismo delle rette. Allo stesso tempo, il video descrive 1) il teorema sul parallelismo delle linee, in cui gli angoli uguali sono creati da una trasversale, 2) un segno che significa il parallelismo di due linee rette - ad angoli corrispondenti uguali formati, 3) a segno che indica il parallelismo di due rette nel caso in cui, quando si intersecano con una secante, gli angoli unilaterali si sommano a 180°. Lo scopo di questa lezione video è familiarizzare gli studenti con i segni che indicano il parallelismo di due linee, la cui conoscenza è necessaria per risolvere molti problemi pratici, presentare visivamente la dimostrazione di questi teoremi e sviluppare abilità nel dimostrare affermazioni geometriche.
I vantaggi di una lezione video sono legati al fatto che con l'aiuto dell'animazione, dell'accompagnamento vocale e della capacità di evidenziare con il colore, fornisce un elevato grado di chiarezza e può servire come sostituto della presentazione di un blocco standard di un nuovo materiale didattico insegnante.
La videolezione inizia con il titolo visualizzato sullo schermo. Prima di descrivere i segni del parallelismo delle rette, agli studenti viene introdotto il concetto di secante. Una secante è definita come una linea che interseca altre linee. Lo schermo mostra due linee rette a e b, che si intersecano con la linea retta c. La linea c costruita è evidenziata in blu, sottolineando il fatto che è una secante delle linee a e b date. Per considerare i segni del parallelismo delle linee, è necessario acquisire maggiore familiarità con l'area di intersezione delle linee. La secante nei punti di intersezione con le rette forma 8 angoli ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5, ∠6, ∠7, ∠8, analizzando i rapporti dai quali è possibile ricavare segni di il parallelismo di queste linee. Si noti che gli angoli ∠3 e ∠5, così come ∠2 e ∠4 sono chiamati trasversali. Una spiegazione dettagliata viene fornita utilizzando l'animazione della disposizione degli angoli trasversali come angoli che si trovano tra rette parallele e rette adiacenti, che giacciono trasversalmente. Successivamente viene introdotto il concetto di angoli unilaterali, che comprende le coppie ∠4 e ∠5, nonché ∠3 e ∠6. Sono anche indicate le coppie di angoli corrispondenti, di cui ci sono 4 coppie nell'immagine costruita: ∠1-∠5, ∠4-∠8, ∠2-∠6, ∠3-∠7.
La parte successiva della video lezione esamina tre segni di parallelismo di due linee qualsiasi. Sullo schermo appare la prima descrizione. Il teorema afferma che se gli angoli trasversali formati dalla trasversale sono uguali, le rette date saranno parallele. La dichiarazione è accompagnata da un disegno che mostra due rette aeb e una secante AB. Si nota che gli angoli di giacitura ∠1 e ∠2 formati trasversalmente sono uguali tra loro. Questa affermazione richiede una prova.
Il caso speciale più facilmente dimostrabile è quando gli angoli trasversali dati sono retti. Ciò significa che la secante è perpendicolare alle rette, e secondo il teorema già dimostrato, in questo caso le rette a e b non si intersecano, cioè sono parallele. La dimostrazione per questo caso particolare viene descritta utilizzando l'esempio di un'immagine costruita accanto alla prima figura, evidenziandola dettagli importanti prove attraverso l'animazione.
Per dimostrarlo nel caso generale è necessario tracciare un'ulteriore perpendicolare dal centro del segmento AB alla retta a. Sulla retta b si traccia poi il segmento BH 1 uguale al segmento AN. Dal punto risultante H 1, viene disegnato un segmento che collega i punti O e H 1. Consideriamo poi due triangoli ΔОНА e ΔОВН 1, la cui uguaglianza è dimostrata dal primo segno di uguaglianza di due triangoli. I lati OA e OB sono uguali nella costruzione, poiché il punto O è stato indicato come centro del segmento AB. Anche i lati HA e H 1 B sono uguali nella costruzione, poiché abbiamo eliminato il segmento H 1 B, uguale a HA. E gli angoli sono ∠1=∠2 a seconda delle condizioni del problema. Poiché i triangoli formati sono uguali tra loro, anche le restanti coppie di angoli e lati corrispondenti sono uguali tra loro. Ne consegue che il segmento OH 1 è una continuazione del segmento OH, costituendo un segmento HH 1. Si noti che poiché il segmento costruito OH è perpendicolare alla retta a, allora, conseguentemente, il segmento HH 1 è perpendicolare alle rette a e b. Questo fatto significa, utilizzando il teorema sul parallelismo delle rette a cui si costruisce una perpendicolare, che le rette date aeb sono parallele.
Il prossimo teorema che richiede dimostrazione è un segno dell'uguaglianza delle rette parallele mediante l'uguaglianza degli angoli corrispondenti formati quando intersecano una trasversale. L'enunciato di questo teorema viene visualizzato sullo schermo e può essere proposto dagli studenti per la registrazione. La dimostrazione inizia con la costruzione sullo schermo di due rette parallele a e b, alle quali è costruita la secante c. Evidenziato in blu nella foto. La secante forma gli angoli corrispondenti ∠1 e ∠2, che per condizione sono uguali tra loro. Sono contrassegnati anche gli angoli adiacenti ∠3 e ∠4. ∠2 rispetto all'angolo ∠3 è un angolo verticale. E gli angoli verticali sono sempre uguali. Inoltre, gli angoli ∠1 e ∠3 si trovano trasversalmente tra loro: la loro uguaglianza (secondo l'affermazione già provata) significa che le linee aeb sono parallele. Il teorema è stato dimostrato.
L'ultima parte della videolezione è dedicata a dimostrare l'affermazione che se la somma degli angoli unilaterali che si formano quando due rette si intersecano con una trasversale è pari a 180°, in questo caso tali rette saranno parallele tra loro. La dimostrazione è dimostrata utilizzando una figura che mostra le linee a e b che intersecano una secante c. Gli angoli formati dall'intersezione sono segnati in modo simile alla dimostrazione precedente. Per condizione, la somma degli angoli ∠1 e ∠4 è uguale a 180°. Inoltre è noto che la somma degli angoli ∠3 e ∠4 è pari a 180°, poiché sono adiacenti. Ciò significa che gli angoli ∠1 e ∠3 sono uguali tra loro. Questa conclusione dà il diritto di affermare che le linee a e b sono parallele. Il teorema è stato dimostrato.
La video lezione “Segni di parallelismo di due linee” può essere utilizzata dall'insegnante come un blocco indipendente per dimostrare le dimostrazioni di questi teoremi, sostituendo la spiegazione dell'insegnante o accompagnandola. Una spiegazione dettagliata consente agli studenti di utilizzare il materiale per lo studio indipendente e aiuterà a spiegare il materiale durante l'apprendimento a distanza.
Il parallelismo è molto proprietà utile nella geometria. IN vita reale i lati paralleli ti consentono di creare cose belle e simmetriche che piacciono a qualsiasi occhio, quindi la geometria ha sempre avuto bisogno di modi per verificare questo parallelismo. Parleremo dei segni delle linee parallele in questo articolo.
Definizione di parallelismo
Evidenziamo le definizioni che devi conoscere per dimostrare i segni di parallelismo di due rette.
Le rette si dicono parallele se non hanno punti di intersezione. Inoltre, nelle soluzioni, le linee parallele sono solitamente combinate con una linea secante.
Una linea secante è una linea che interseca entrambe le linee parallele. In questo caso si formano angoli incrociati, corrispondenti e unilaterali. Le coppie di angoli 1 e 4 giacciono trasversalmente; 2 e 3; 8 e 6; 7 e 5. I corrispondenti saranno 7 e 2; 1 e 6; 8 e 4; 3 e 5.
Unilaterale 1 e 2; 7 e 6; 8 e 5; 3 e 4.
Se formattato correttamente si scrive: “Angoli che si incrociano per due rette parallele aeb e una secante c”, perché per due rette parallele ci possono essere infinite secanti, quindi è necessario indicare di quale secante si intende.
Inoltre, per la dimostrazione avrai bisogno del teorema dell'angolo esterno di un triangolo, che afferma che l'angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma di due angoli di un triangolo che non sono adiacenti ad esso.
Segni
Tutti i segni delle rette parallele si basano sulla conoscenza delle proprietà degli angoli e sul teorema sull'angolo esterno di un triangolo.
Firma 1
Due rette sono parallele se gli angoli che si intersecano sono uguali.
Consideriamo due rette aeb con secante c. Gli angoli trasversali 1 e 4 sono uguali. Supponiamo che le rette non siano parallele. Ciò significa che le linee si intersecano e deve esserci un punto di intersezione M. Quindi si forma un triangolo ABM con angolo esterno 1 L'angolo esterno deve essere uguale alla somma degli angoli 4 e ABM non adiacente ad esso secondo il teorema. sull'angolo esterno di un triangolo. Ma poi si scopre che l'angolo 1 è maggiore dell'angolo 4, e questo contraddice le condizioni del problema, il che significa che il punto M non esiste, le linee non si intersecano, cioè sono parallele.
Riso. 1. Disegno di prova.
Firma 2
Due rette sono parallele se gli angoli corrispondenti alla trasversale sono uguali.
Consideriamo due rette aeb con secante c. Gli angoli corrispondenti 7 e 2 sono uguali. Prestiamo attenzione all'angolo 3. È verticale all'angolo 7. Ciò significa che gli angoli 7 e 3 sono uguali. Ciò significa che anche gli angoli 3 e 2 sono uguali, poiché<7=<2 и <7=<3. А угол 3 и угол 2 являются накрест лежащими. Следовательно, прямые параллельны, что и требовалось доказать.
Riso. 2. Disegno di prova.
Firma 3
Due rette sono parallele se la somma dei loro angoli unilaterali è 180 gradi.
Riso. 3. Disegno di prova.
Consideriamo due rette aeb con secante c. La somma degli angoli unilaterali 1 e 2 è pari a 180 gradi. Prestiamo attenzione agli angoli 1 e 7. Sono adiacenti. Questo è:
$$<1+<7=180$$
$$<1+<2=180$$
Sottrai la seconda dalla prima espressione:
$$(<1+<7)-(<1+<2)=180-180$$
$$(<1+<7)-(<1+<2)=0$$
$$<1+<7-<1-<2=0$$
$$<7-<2=0$$
$<7=<2$ - а они являются соответственными. Значит, прямые параллельны.
Cosa abbiamo imparato?
Abbiamo analizzato in dettaglio quali angoli si ottengono tagliando linee parallele con una terza linea, identificato e descritto in dettaglio la prova di tre segni di linee parallele.
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Linee parallele. Proprietà e segni delle rette parallele1. Assioma delle parallele. Per un punto dato si può tracciare al più una retta parallela a quella data.
2. Se due linee sono parallele alla stessa linea, allora sono parallele tra loro.
3. Due rette perpendicolari alla stessa retta sono parallele.
4. Se due linee parallele si intersecano con una terza, allora gli angoli trasversali interni formati sono uguali; gli angoli corrispondenti sono uguali; la somma degli angoli interni unilaterali ammonta a 180°.
5. Se due rette che ne intersecano una terza si formano angoli trasversali interni uguali, allora le rette sono parallele.
6. Se due rette che ne intersecano una terza si formano angoli uguali e corrispondenti, allora le rette sono parallele.
7. Se, quando due rette ne intersecano una terza, la somma degli angoli interni unilaterali è pari a 180°, allora le rette sono parallele.
Il teorema di Talete. Se segmenti uguali sono disposti su un lato di un angolo e attraverso le loro estremità vengono disegnate linee parallele che intersecano il secondo lato dell'angolo, allora segmenti uguali vengono disposti anche sul secondo lato dell'angolo.
Teorema del segmento proporzionale. Le linee parallele che intersecano i lati di un angolo ritagliano su di esse segmenti proporzionali.
Triangolo. Segni di uguaglianza dei triangoli.
1. Se due lati e l'angolo formato da loro di un triangolo sono rispettivamente uguali a due lati e all'angolo formato da loro di un altro triangolo, allora i triangoli sono congruenti.
2. Se un lato e due angoli adiacenti di un triangolo sono rispettivamente uguali al lato e a due angoli adiacenti di un altro triangolo, allora i triangoli sono congruenti.
3. Se tre lati di un triangolo sono rispettivamente uguali a tre lati di un altro triangolo, allora i triangoli sono congruenti.
Segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli
1. Su due lati.
2. Lungo la gamba e l'ipotenusa.
3. Per ipotenusa e angolo acuto.
4. Lungo la gamba e l'angolo acuto.
Teorema sulla somma degli angoli di un triangolo e sue conseguenze
1. La somma degli angoli interni di un triangolo è 180°.
2. Un angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma di due angoli interni non adiacenti ad esso.
3. La somma degli angoli interni di un n-gon convesso è uguale a
4. La somma degli angoli esterni di un egono è 360°.
5. Gli angoli con i lati tra loro perpendicolari sono uguali se sono entrambi acuti o entrambi ottusi.
6. L'angolo formato dalle bisettrici di angoli adiacenti è 90°.
7. Le bisettrici degli angoli interni unilaterali con rette parallele e una trasversale sono perpendicolari.
Proprietà e caratteristiche fondamentali di un triangolo isoscele
1. Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali.
2. Se due angoli di un triangolo sono uguali, allora è isoscele.
3. In un triangolo isoscele la mediana, la bisettrice e l'altitudine portata alla base coincidono.
4. Se una qualsiasi coppia di segmenti della tripla coincide in un triangolo: mediana, bisettrice, altezza, allora è isoscele.
La disuguaglianza triangolare e le sue conseguenze
1. La somma di due lati di un triangolo è maggiore del suo terzo lato.
2. La somma dei collegamenti della polilinea è maggiore del segmento che collega l'inizio
il primo collegamento con la fine dell'ultimo.
3. Di fronte all'angolo maggiore del triangolo si trova il lato maggiore.
4. Di fronte al lato più grande del triangolo si trova l'angolo più grande.
5. L'ipotenusa di un triangolo rettangolo è maggiore della gamba.
6. Se si tracciano linee perpendicolari e inclinate da un punto a una linea retta, allora
1) la perpendicolare è più corta di quelle inclinate;
2) ad un obliquo maggiore corrisponde una proiezione maggiore e viceversa.
La linea mediana del triangolo.
Il segmento che unisce i punti medi di due lati di un triangolo si chiama linea mediana del triangolo.
Teorema della linea mediana del triangolo.
La linea mediana del triangolo è parallela al lato del triangolo e pari alla metà di esso.
Teoremi sulle mediane di un triangolo
1. Le mediane di un triangolo si intersecano in un punto e lo dividono in un rapporto di 2: 1, contando dal vertice.
2. Se la mediana di un triangolo è uguale alla metà del lato su cui è disegnata, allora il triangolo è rettangolo.
3. La mediana di un triangolo rettangolo tracciato dal vertice di un angolo retto è pari alla metà dell'ipotenusa.
Proprietà delle bisettrici perpendicolari ai lati di un triangolo. Le bisettrici perpendicolari ai lati del triangolo si intersecano in un punto, che è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo.
Teorema dell'altitudine del triangolo. Le linee contenenti le altezze del triangolo si intersecano in un punto.
Teorema della bisettrice del triangolo. Le bisettrici di un triangolo si intersecano in un punto, che è il centro della circonferenza inscritta nel triangolo.
Proprietà della bisettrice del triangolo. La bisettrice di un triangolo divide il suo lato in segmenti proporzionali agli altri due lati.
Segni di somiglianza dei triangoli
1. Se due angoli di un triangolo sono rispettivamente uguali a due angoli di un altro, allora i triangoli sono simili.
2. Se due lati di un triangolo sono rispettivamente proporzionali a due lati di un altro, e gli angoli tra questi lati sono uguali, allora i triangoli sono simili.
3. Se i tre lati di un triangolo sono rispettivamente proporzionali ai tre lati di un altro, allora i triangoli sono simili.
Aree di triangoli simili
1. Il rapporto tra le aree di triangoli simili è uguale al quadrato del coefficiente di somiglianza.
2. Se due triangoli hanno angoli uguali, le loro aree sono correlate come il prodotto dei lati che racchiudono questi angoli.
In un triangolo rettangolo
1. Una gamba di un triangolo rettangolo è uguale al prodotto dell'ipotenusa e del seno di quello opposto o del coseno dell'angolo acuto adiacente a questa gamba.
2. Un cateto di un triangolo rettangolo è uguale a un altro cateto moltiplicato per la tangente di quello opposto o per la cotangente dell'angolo acuto adiacente a tale cateto.
3. Un cateto di un triangolo rettangolo opposto ad un angolo di 30° è uguale alla metà dell'ipotenusa.
4. Se un cateto di un triangolo rettangolo è uguale alla metà dell'ipotenusa, allora l'angolo opposto a questo cateto è 30°.
5. R = ; r = , dove a, b sono i cateti e c è l'ipotenusa del triangolo rettangolo; r e R sono i raggi rispettivamente dei cerchi inscritti e circoscritti.
Teorema di Pitagora e viceversa del teorema di Pitagora
1. Il quadrato dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo è uguale alla somma dei quadrati dei cateti.
2. Se il quadrato di un lato di un triangolo è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati, allora il triangolo è rettangolo.
Significa proporzionale in un triangolo rettangolo.
L'altezza di un triangolo rettangolo tracciato dal vertice di un angolo retto è la media proporzionale alle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa, e ogni cateto è la media proporzionale all'ipotenusa e alla sua proiezione sull'ipotenusa.
Rapporti metrici in un triangolo
1. Teorema dei coseni. Il quadrato di un lato di un triangolo è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati senza il doppio del prodotto di questi lati per il coseno dell'angolo compreso tra loro.
2. Corollario al teorema del coseno. La somma dei quadrati delle diagonali di un parallelogramma è uguale alla somma dei quadrati di tutti i suoi lati.
3. Formula per la mediana di un triangolo. Se m è la mediana del triangolo disegnato sul lato c, allora m = 
, dove a e b sono i restanti lati del triangolo.
4. Teorema dei seni. I lati di un triangolo sono proporzionali ai seni degli angoli opposti.
5. Teorema generalizzato dei seni. Il rapporto tra il lato di un triangolo e il seno dell'angolo opposto è uguale al diametro del cerchio circoscritto al triangolo.
Formule dell'area del triangolo
1. L'area di un triangolo è uguale alla metà del prodotto della base e dell'altezza.
2. L'area di un triangolo è uguale alla metà del prodotto dei suoi due lati e del seno dell'angolo compreso tra loro.
3. L'area di un triangolo è uguale al prodotto del suo semiperimetro e del raggio del cerchio inscritto.
4. L'area di un triangolo è uguale al prodotto dei suoi tre lati diviso per il quadruplo del raggio della circonferenza circoscritta.
5. Formula di Erone: S=, dove p è il semiperimetro; a, b, c - lati del triangolo.
Elementi di un triangolo equilatero. Siano h, S, r, R l'altezza, l'area, i raggi dei cerchi inscritti e circoscritti di un triangolo equilatero di lato a. Poi
Quadrilateri
Parallelogramma. Un parallelogramma è un quadrilatero i cui lati opposti sono paralleli a coppie.
Proprietà e segni di un parallelogramma.
1. Una diagonale divide un parallelogramma in due triangoli uguali.
2. I lati opposti di un parallelogramma sono uguali a coppie.
3. Gli angoli opposti di un parallelogramma sono uguali a coppie.
4. Le diagonali di un parallelogramma si intersecano e sono secate in due dal punto di intersezione.
5. Se i lati opposti di un quadrilatero sono uguali a coppie, allora questo quadrilatero è un parallelogramma.
6. Se due lati opposti di un quadrilatero sono uguali e paralleli, allora questo quadrilatero è un parallelogramma.
7. Se le diagonali di un quadrilatero sono secate in due dal punto di intersezione, allora questo quadrilatero è un parallelogramma.
Proprietà dei punti medi dei lati di un quadrilatero. I punti medi dei lati di qualsiasi quadrilatero sono i vertici di un parallelogramma la cui area è pari alla metà dell'area del quadrilatero.
Rettangolo. Un parallelogramma con un angolo retto si chiama rettangolo.
Proprietà e caratteristiche di un rettangolo.
1. Le diagonali del rettangolo sono uguali.
2. Se le diagonali di un parallelogramma sono uguali, allora questo parallelogramma è un rettangolo.
Piazza. Un quadrato è un rettangolo i cui lati sono tutti uguali.
Rombo. Un rombo è un quadrilatero i cui lati sono tutti uguali.
Proprietà e segni di un rombo.
1. Le diagonali di un rombo sono perpendicolari.
2. Le diagonali di un rombo dividono i suoi angoli a metà.
3. Se le diagonali di un parallelogramma sono perpendicolari, allora questo parallelogramma è un rombo.
4. Se le diagonali di un parallelogramma dividono in due i suoi angoli, allora questo parallelogramma è un rombo.
Trapezio. Un trapezio è un quadrilatero i cui soli due lati opposti (basi) sono paralleli. La linea mediana di un trapezio è un segmento che collega i punti medi dei lati (lati) non paralleli.
1. La linea mediana del trapezio è parallela alle basi e uguale alla loro semisomma.
2. Il segmento che collega i punti medi delle diagonali del trapezio è uguale alla metà della differenza delle basi.
Una proprietà notevole di un trapezio. Il punto di intersezione delle diagonali di un trapezio, il punto di intersezione dei prolungamenti dei lati e il centro delle basi giacciono sulla stessa retta.
Trapezio isoscele. Un trapezio si dice isoscele se i suoi lati sono uguali.
Proprietà e segni di un trapezio isoscele.
1. Gli angoli alla base di un trapezio isoscele sono uguali.
2. Le diagonali di un trapezio isoscele sono uguali.
3. Se gli angoli alla base di un trapezio sono uguali, allora è isoscele.
4. Se le diagonali di un trapezio sono uguali, allora è isoscele.
5. La proiezione del lato laterale di un trapezio isoscele sulla base è pari alla metà della differenza delle basi, e la proiezione della diagonale è la metà della somma delle basi.
Formule per l'area di un quadrilatero
1. L'area di un parallelogramma è uguale al prodotto della base e dell'altezza.
2. L'area di un parallelogramma è uguale al prodotto dei suoi lati adiacenti e al seno dell'angolo compreso tra loro.
3. L'area di un rettangolo è uguale al prodotto dei suoi due lati adiacenti.
4. L'area di un rombo è pari alla metà del prodotto delle sue diagonali.
5. L'area di un trapezio è uguale al prodotto della metà della somma delle basi e dell'altezza.
6. L'area di un quadrilatero è uguale alla metà del prodotto delle sue diagonali e del seno dell'angolo compreso tra loro.
7. Formula di Erone per un quadrilatero attorno al quale si può descrivere un cerchio:
S = , dove a, b, c, d sono i lati di questo quadrilatero, p è il semiperimetro e S è l'area.
Cifre simili
1. Il rapporto tra gli elementi lineari corrispondenti di figure simili è uguale al coefficiente di somiglianza.
2. Il rapporto tra le aree di figure simili è uguale al quadrato del coefficiente di somiglianza.
Poligono regolare.
Sia a n il lato di un n-gono regolare, e r n e R n siano i raggi dei cerchi inscritti e circoscritti. Poi
Cerchio.
Una circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano distanti da un punto dato, detto centro della circonferenza, alla stessa distanza positiva.
Proprietà fondamentali di un cerchio
1. Un diametro perpendicolare alla corda divide a metà la corda e gli archi da essa sottesi.
2. Un diametro passante per il centro di una corda che non sia un diametro è perpendicolare a questa corda.
3. La bisettrice perpendicolare alla corda passa per il centro del cerchio.
4. Gli accordi uguali si trovano a distanze uguali dal centro del cerchio.
5. Le corde di un cerchio che hanno la stessa distanza dal centro sono uguali.
6. Un cerchio è simmetrico rispetto a uno qualsiasi dei suoi diametri.
7. Gli archi di cerchio racchiusi tra corde parallele sono uguali.
8. Di due accordi quello meno distante dal centro è maggiore.
9. Il diametro è la corda più grande di un cerchio.
Tangente ad una circonferenza. Una retta che ha un solo punto in comune con una circonferenza si dice tangente alla circonferenza.
1. La tangente è perpendicolare al raggio tracciato fino al punto di contatto.
2. Se la linea retta a passante per un punto di una circonferenza è perpendicolare al raggio disegnato fino a questo punto, allora la linea retta a è tangente al cerchio.
3. Se le linee rette passanti per il punto M toccano il cerchio nei punti A e B, allora MA = MB e ﮮAMO = ﮮBMO, dove il punto O è il centro del cerchio.
4. Il centro di un cerchio inscritto in un angolo giace sulla bisettrice di questo angolo.
Cerchi tangenti. Due cerchi si dicono che si toccano se hanno un unico punto in comune (punto di contatto).
1. Il punto di contatto di due cerchi giace sulla loro linea di centri.
2. Cerchi di raggio r e R con centri O 1 e O 2 si toccano esternamente se e solo se R + r = O 1 O 2.
3. Cerchi di raggio r e R (r
4. Cerchi con centri O 1 e O 2 si toccano esternamente nel punto K. Una certa retta tocca questi cerchi in vari punti A e B e interseca la tangente comune che passa per il punto K nel punto C. Quindi ﮮAK B = 90° e ﮮO 1CO2 = 90°.
5. Il segmento della tangente esterna comune a due cerchi tangenti di raggi r e R è uguale al segmento della tangente interna comune racchiuso tra quelli esterni comuni. Entrambi questi segmenti sono uguali.
Angoli associati ad un cerchio
1. La dimensione dell'arco di cerchio è uguale alla dimensione dell'angolo al centro che poggia su di esso.
2. Un angolo inscritto è pari alla metà del valore angolare dell'arco su cui poggia.
3. Gli angoli inscritti che sottendono lo stesso arco sono uguali.
4. L'angolo tra le corde che si intersecano è uguale alla metà della somma degli archi opposti tagliati dalle corde.
5. L'angolo tra due secanti che si intersecano all'esterno del cerchio è uguale alla semidifferenza degli archi tagliati dalle secanti sul cerchio.
6. L'angolo tra la tangente e la corda tracciata dal punto di contatto è pari alla metà del valore angolare dell'arco ritagliato sul cerchio da questa corda.
Proprietà delle corde circolari
1. La linea dei centri di due cerchi che si intersecano è perpendicolare alla loro corda comune.
2. I prodotti delle lunghezze dei segmenti delle corde AB e CD di un cerchio che si interseca nel punto E sono uguali, cioè AE EB = CE ED.
Cerchi inscritti e circoscritti
1. I centri dei cerchi inscritti e circoscritti di un triangolo regolare coincidono.
2. Il centro del cerchio circoscritto ad un triangolo rettangolo è il centro dell'ipotenusa.
3. Se un cerchio può essere inscritto in un quadrilatero, allora le somme dei suoi lati opposti sono uguali.
4. Se un quadrilatero può essere inscritto in un cerchio, allora la somma dei suoi angoli opposti è 180°.
5. Se la somma degli angoli opposti di un quadrilatero è 180°, attorno ad esso si può tracciare un cerchio.
6. Se un cerchio può essere inscritto in un trapezio, allora il lato del trapezio è visibile dal centro del cerchio ad angolo retto.
7. Se un cerchio può essere inscritto in un trapezio, allora il raggio del cerchio è la media proporzionale ai segmenti in cui il punto di contatto divide il lato.
8. Se un cerchio può essere inscritto in un poligono, allora la sua area è uguale al prodotto del semiperimetro del poligono per il raggio di questo cerchio.
Il teorema della tangente e della secante e il suo corollario
1. Se una tangente e una secante vengono disegnate su un cerchio da un punto, il prodotto dell'intera secante e della sua parte esterna è uguale al quadrato della tangente.
2. Il prodotto dell'intera secante e della sua parte esterna per un dato punto e un dato cerchio è costante.
La circonferenza di un cerchio di raggio R è uguale a C= 2πR
1. Il primo segno di parallelismo.
Se due rette che ne intersecano una terza hanno gli angoli interni trasversali uguali, allora queste rette sono parallele.
Lascia che le linee AB e CD siano intersecate dalla linea EF e ∠1 = ∠2. Prendiamo il punto O - il centro del segmento KL della secante EF (Fig.).
Abbassiamo la perpendicolare OM dal punto O sulla linea AB e proseguiamo finché non interseca la linea CD, AB ⊥ MN. Proviamo che CD ⊥ MN.
Per fare ciò, considera due triangoli: MOE e NOK. Questi triangoli sono uguali tra loro. Infatti: ∠1 = ∠2 secondo il teorema; ОK = ОL - per costruzione;
∠MOL = ∠NOK, come gli angoli verticali. Quindi il lato e due angoli adiacenti di un triangolo sono rispettivamente uguali al lato e a due angoli adiacenti di un altro triangolo; quindi, ΔMOL = ΔNOK, e quindi ∠LMO = ∠KNO,
ma ∠LMO è dritto, il che significa che anche ∠KNO è dritto. Quindi le rette AB e CD sono perpendicolari alla stessa retta MN, quindi parallele, che era ciò che occorreva dimostrare.
Nota. L'intersezione delle rette MO e CD può essere stabilita ruotando il triangolo MOL attorno al punto O di 180°.
2. Il secondo segno di parallelismo.
Vediamo se le rette AB e CD sono parallele se, quando intersecano la terza retta EF, gli angoli corrispondenti sono uguali.
Siano uguali alcuni angoli corrispondenti, ad esempio ∠ 3 = ∠2 (Fig.);
∠3 = ∠1, come angoli verticali; questo significa che ∠2 sarà uguale a ∠1. Ma gli angoli 2 e 1 sono angoli interni che si intersecano, e già sappiamo che se quando due rette intersecano la terza, gli angoli interni che si intersecano sono uguali, allora queste rette sono parallele. Quindi AB || CD.
Se, quando due rette ne intersecano una terza, gli angoli corrispondenti sono uguali, allora queste due rette sono parallele.
Su questa proprietà si basa la costruzione di linee parallele utilizzando un righello e un triangolo da disegno. Questo viene fatto come segue.
Attacciamo il triangolo al righello come mostrato in Fig. Sposteremo il triangolo in modo che uno dei suoi lati scivoli lungo il righello e disegneremo diverse linee rette lungo un altro lato del triangolo. Queste linee saranno parallele.
3. Il terzo segno di parallelismo.
Sappiamo che quando due rette AB e CD si intersecano con una terza retta, la somma degli eventuali angoli interni unilaterali è pari a 2 D(o 180°). Le rette AB e CD saranno parallele in questo caso (Fig.).
Siano ∠1 e ∠2 angoli interni unilaterali e la somma dia 2 D.
Ma ∠3 + ∠2 = 2 D come angoli adiacenti. Pertanto, ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.
Quindi ∠1 = ∠3, e questi angoli interni giacciono trasversalmente. Quindi AB || CD.
Se, quando due rette ne intersecano una terza, la somma degli angoli interni unilaterali è uguale a 2 d (o 180°), allora queste due linee sono parallele.
Segni di linee parallele:
1. Se, quando due rette ne intersecano una terza, gli angoli interni giacenti trasversalmente sono uguali, allora queste rette sono parallele.2. Se, quando due rette ne intersecano una terza, gli angoli corrispondenti sono uguali, allora queste due rette sono parallele.
3. Se, quando due rette ne intersecano una terza, la somma degli angoli interni unilaterali è 180°, allora queste due rette sono parallele.
4. Se due linee sono parallele a una terza linea, allora sono parallele tra loro.
5. Se due rette sono perpendicolari ad una terza retta, allora sono parallele tra loro.
Assioma del parallelismo di Euclide
Compito. Per un punto M preso all'esterno della linea AB, tracciare una linea parallela alla linea AB.
Utilizzando i teoremi provati sui segni di parallelismo delle rette, questo problema può essere risolto in vari modi,
Soluzione. 1° passo (disegno 199).
Disegniamo MN⊥AB e per il punto M disegniamo CD⊥MN;
otteniamo CD⊥MN e AB⊥MN.
Basandoci sul teorema (“Se due rette sono perpendicolari alla stessa retta, allora sono parallele.”) concludiamo che CD || AB.
2° metodo (disegno 200).
Disegniamo una MK che interseca AB a qualsiasi angolo α, e per il punto M tracciamo una linea retta EF, formando un angolo EMK con la retta MK uguale all'angolo α. Basandosi sul Teorema (), concludiamo che EF || AB.
Risolto questo problema, possiamo considerarlo dimostrato che per ogni punto M preso all'esterno della retta AB è possibile condurre una retta parallela ad essa. Sorge la domanda: quante rette parallele ad una data retta e passanti per un dato punto possono esistere?
La pratica della costruzione ci consente di supporre che esista una sola di queste linee rette, poiché con un disegno eseguito con cura, linee rette disegnate in modi diversi attraverso lo stesso punto parallelo alla stessa linea retta si fondono.
In teoria, la risposta al quesito posto è data dal cosiddetto assioma del parallelismo di Euclide; è così formulato:
Per un punto preso all'esterno di una data linea si può tracciare una sola linea parallela a questa linea.
Nel disegno 201, attraverso il punto O, si traccia una linea retta SC, parallela alla retta AB.
Qualsiasi altra linea passante per il punto O non sarà più parallela alla linea AB, ma la intersecherà.
L'assioma adottato da Euclide negli Elementi, secondo il quale su un piano, per un punto preso fuori di una linea data, si può condurre una sola linea retta parallela a questa linea, si chiama Assioma del parallelismo di Euclide.
Più di duemila anni dopo Euclide, molti matematici tentarono di dimostrare questa proposizione matematica, ma i loro tentativi furono sempre infruttuosi. Solo nel 1826, il grande scienziato russo, professore all'Università di Kazan Nikolai Ivanovich Lobachevskij, dimostrò che utilizzando tutti gli altri assiomi di Euclide, questa proposizione matematica non può essere dimostrata, che dovrebbe davvero essere accettata come assioma. N.I. Lobachevskij creò una nuova geometria che, a differenza della geometria di Euclide, si chiama geometria Lobachevskij.
