Come i numeri negativi. Perché sono necessari i numeri negativi?

Chalina Irina

Presentazione sulla storia dei numeri negativi.

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Numeri negativi Chalina Irina

Matematica - viva! Gloria, gloria, gloria! Non le cantano serenate, non le gridano bravo. C'erano una volta 2 numeri, vivevano e non si addoloravano. Uno è un meno, l'altro è un vantaggio. Ci divertivamo da amici. I segni sono diversi in ogni cosa, ma puoi metterli in modo che si formi il numero che dovrebbe essere formato. Più su più - otteniamo un più, Più su meno - c'è un meno. Ebbene, se (-20) aggiungiamo (-8), alla fine otteniamo il numero (-28).

Numero negativo Un numero negativo è un elemento dell'insieme dei numeri negativi che (insieme allo zero) è apparso in matematica durante l'espansione dell'insieme dei numeri naturali. Lo scopo dell'estensione è quello di consentire l'esecuzione dell'operazione di sottrazione su qualsiasi numero. Come risultato dell'espansione, si ottiene un insieme (anello) di numeri interi, costituito da numeri positivi (naturali), numeri negativi e zero. Tutto numeri negativi, e solo loro, sono inferiori a zero. Sulla linea numerica, i numeri negativi si trovano a sinistra dello zero. Per loro, ma anche per numeri positivi, viene definita una relazione d'ordine che consente di confrontare un intero con un altro.

Contesto storico La storia mostra che le persone non sono riuscite ad abituarsi ai numeri negativi per molto tempo. I numeri negativi sembravano loro incomprensibili, non li usavano, semplicemente non ne vedevano il significato. I numeri positivi sono stati interpretati come “profitto” e i numeri negativi come “debito”, “perdita”. Nell'Antico Egitto, in Babilonia e nell'Antica Grecia, i numeri negativi non venivano usati e se le equazioni avevano radici negative (durante la sottrazione), venivano rifiutate come impossibili. Per la prima volta i numeri negativi furono parzialmente legalizzati in Cina, e poi (a partire dal VII secolo circa) in India, dove furono interpretati come debiti (carenze), o riconosciuti come un passaggio intermedio utile per il calcolo del saldo finale, risultato positivo. Ma nell’antichità non esistevano i segni + o – né per i numeri né per le azioni. È vero che la moltiplicazione e la divisione dei numeri negativi non erano ancora state definite. Anche i Greci all'inizio non usavano segni, finché Diofanto di Alessandria nel III secolo iniziò a usare il segno "-" quando risolveva equazioni lineari. Il segno “+” è apparso come risultato dell'azione opposta al segno “-” cancellando il meno. Era molto simile al plus che usiamo adesso. Conosceva già la regola dei segni e sapeva moltiplicare i numeri negativi. Ma li considerava anche solo come valori temporanei.

L'utilità e la validità dei numeri negativi furono gradualmente stabilite. Già il matematico indiano Brahmagupta (VII secolo) li considerava alla pari di quelli positivi. In Europa il riconoscimento arrivò mille anni dopo, e anche allora, per molto tempo, i numeri negativi furono chiamati “falsi”, “immaginari” o “assurdi”. Anche Pascal credeva che 0 − 4 = 0, poiché nulla può essere inferiore a nulla. Bombelli e Girard, al contrario, consideravano i numeri negativi abbastanza accettabili e utili, in particolare per indicare la mancanza di qualcosa. Un'eco di quei tempi è il fatto che nell'aritmetica moderna l'operazione di sottrazione e il segno dei numeri negativi sono denotati dallo stesso simbolo (meno), sebbene algebricamente si tratti di concetti completamente diversi. Nel XVII secolo, con l'avvento della geometria analitica, i numeri negativi ricevettero una rappresentazione geometrica visiva sull'asse dei numeri. Da questo momento in poi arriva la loro piena uguaglianza. Tuttavia, la teoria dei numeri negativi era agli inizi da molto tempo. Ad esempio, è stata discussa animatamente la strana proporzione 1:(-1) = (-1):1 - in essa il primo termine a sinistra è maggiore del secondo, e a destra - viceversa, e si scopre che il maggiore è uguale al minore (“paradosso di Arnauld”). Inoltre non era chiaro quale fosse il significato di moltiplicare i numeri negativi e perché il prodotto dei numeri negativi fosse positivo; Ci sono state accese discussioni su questo argomento. Una teoria completa e assolutamente rigorosa dei numeri negativi fu creata solo nel XIX secolo da William Hamilton e Hermann Grassmann.

Proprietà dei numeri negativi I numeri negativi obbediscono quasi alle stesse regole algebriche dei numeri naturali, ma hanno alcune caratteristiche speciali. Se ogni insieme di numeri positivi è limitato inferiormente, allora ogni insieme di numeri negativi è limitato superiormente. Quando si moltiplicano numeri interi, si applica la regola dei segni: il prodotto dei numeri con segni diversi negativo, con lo stesso - positivo. Quando entrambi i lati di una disuguaglianza vengono moltiplicati per un numero negativo, il segno della disuguaglianza viene invertito. Ad esempio, moltiplicando la disuguaglianza 3 −10. Nella divisione con resto, il quoziente può avere qualsiasi segno, ma il resto, per convenzione, è sempre non negativo (altrimenti non è determinato in modo univoco). Per ogni numero naturale (n), esiste uno e un solo numero negativo, indicato con (-n), che complementa n con zero: si dice che entrambi i numeri siano opposti l'uno dell'altro. Sottrarre un intero (a) da un altro intero (b) equivale ad aggiungere b con segno opposto ad a: (b)+ (-a)

Regole di base Regola 1. La somma di due numeri negativi è un numero negativo uguale alla somma dei moduli di questi numeri. Esempio - La somma dei numeri (-3) e (-8) è uguale a meno 11. Regola 2. Il prodotto di due numeri con segno diverso è un numero negativo il cui modulo è uguale al prodotto dei moduli dei fattori. Esempio - Il prodotto di meno tre e cinque è uguale a meno quindici, perché moltiplicando due numeri con segni diversi, si ottiene un numero negativo e il suo modulo è uguale al prodotto dei moduli dei fattori, cioè tre e cinque. Regola 3. Per contrassegnare i numeri negativi, è necessario integrare il raggio coordinato con il raggio opposto e tracciare su di esso le coordinate corrispondenti. Esempio. I numeri situati sulla linea delle coordinate a destra dello zero sono chiamati positivi e a sinistra negativi.

Modulo di un numero negativo Distanza dal punto A(a) all'origine, cioè al punto O(o), è chiamato modulo del numero a ed è indicato con /a/ Il modulo di un numero negativo è uguale al numero opposto ad esso. Il modulo, senza fare nulla con i numeri positivi e lo zero, toglie il segno meno ai numeri negativi. Il modulo è indicato da trattini verticali, scritti su entrambi i lati del numero. Ad esempio / -3 / = 3; / -2,3 / = 2,3 ; / -526/7 / = 526/7. Di due numeri negativi, quello il cui modulo è minore è maggiore e quello il cui modulo è maggiore è minore. (Una battuta comune a riguardo è che i numeri negativi non sono come le persone, al contrario)

conclusione I numeri negativi sono all'ordine del giorno: vengono utilizzati, ad esempio, per rappresentare temperature sotto lo zero. Pertanto, sembra sorprendente che solo pochi secoli fa non esistesse un'interpretazione specifica dei numeri negativi, e che i numeri negativi risultanti durante i calcoli fossero chiamati "immaginari". I numeri negativi sono necessari non solo quando si misura la temperatura. Ad esempio, se un'impresa ha ricevuto un reddito di 1 milione di rubli o, al contrario, ha subito perdite per 1 milione di rubli, come dovrebbe riflettersi nei documenti finanziari? Nel primo caso, annota 1.000.000 di rubli. o + 1.000.000 di rubli. E nel secondo, rispettivamente, (- 1.000.000 di rubli).

Grazie per l'attenzione! -

Antico Egitto , Babilonia e l'antica Grecia non usavano numeri negativi e se si ottenevano radici negative delle equazioni (durante la sottrazione), venivano rifiutate come impossibili. L'eccezione era Diofanto, che già nel III secolo conosceva la regola dei segni e sapeva moltiplicare i numeri negativi. Li considerava però solo come un passaggio intermedio, utile per calcolare il risultato finale, positivo. Per la prima volta, i numeri negativi furono parzialmente legalizzati in Cina, e poi (a partire dal VII secolo circa) in India, dove furono interpretati come debiti (carenze) o, come Diofanto, riconosciuti come valori temporanei. La moltiplicazione e la divisione per i numeri negativi non erano ancora state definite. L'utilità e la validità dei numeri negativi furono gradualmente stabilite. Già il matematico indiano Brahmagupta (VII secolo) li considerava alla pari di quelli positivi. In Europa il riconoscimento arrivò mille anni dopo, e anche allora, per molto tempo, i numeri negativi furono chiamati “falsi”, “immaginari” o “assurdi”. La prima descrizione di essi nella letteratura europea si trova nel “Libro dell'Abaco” di Leonardo da Pisa (1202), che interpretava i numeri negativi come debito. Bombelli e Girard, nei loro scritti, consideravano i numeri negativi del tutto accettabili e utili, in particolare per indicare la mancanza di qualcosa. Anche nel XVII secolo Pascal credeva che 0 − 4 = 0, poiché nulla può essere inferiore a nulla. Un'eco di quei tempi è il fatto che nell'aritmetica moderna l'operazione di sottrazione e il segno dei numeri negativi sono denotati dallo stesso simbolo (meno), sebbene algebricamente si tratti di concetti completamente diversi. Nel XVII secolo, con l'avvento della geometria analitica, i numeri negativi ricevettero una rappresentazione geometrica visiva sull'asse dei numeri. Da questo momento in poi arriva la loro piena uguaglianza. Tuttavia, la teoria dei numeri negativi era agli inizi da molto tempo. Ad esempio, è stata discussa animatamente la strana proporzione 1:(-1) = (-1):1 - in essa il primo termine a sinistra è maggiore del secondo, e a destra - viceversa, e si scopre che il maggiore è uguale al minore (“paradosso di Arnauld”). Inoltre non era chiaro quale fosse il significato di moltiplicare i numeri negativi e perché il prodotto dei numeri negativi fosse positivo; Ci sono state accese discussioni su questo argomento. Gauss nel 1831 ritenne necessario chiarire che i numeri negativi hanno fondamentalmente gli stessi diritti dei numeri positivi, e il fatto che non siano applicabili a tutte le cose non significa nulla, perché anche le frazioni non sono applicabili a tutte le cose (ad esempio, non sono applicabili al conteggio delle persone). Una teoria completa e completamente rigorosa dei numeri negativi fu creata solo nel XIX secolo (William Hamilton e Hermann Grassmann).

Il tema del progetto è “Sono necessari i numeri negativi”

Introduzione

I numeri non governano il mondo, ma mostrano come è gestito il mondo!

I.Goethe

Questa affermazione mostra il ruolo che i numeri svolgono nella nostra vita. Nelle prime fasi dello sviluppo, le persone conoscevano solo i numeri naturali. Ma questi numeri non possono essere utilizzati nemmeno nella maggior parte dei casi casi semplici. Non puoi sottrarre un numero più grande da uno più piccolo, ad esempio 5 da 3. Tuttavia, in vita quotidiana e non sembra necessario effettuare una tale sottrazione, e quindi per moltissimo tempo è stata considerata non solo impossibile, ma anche del tutto priva di significato. Nella mia mente, il numero più piccolo era 0, cioè niente, ma risulta che ci sono ancora numeri inferiori a 0. Questi sono numeri negativi, cioè meno di niente. Nel mio lavoro ho esaminato la necessità di utilizzare numeri negativi non solo in matematica, ma anche in altre scienze: geografia, fisica, biologia e nella vita di tutti i giorni.

Pertinenza dell'argomento: Dopo aver studiato l'argomento “Numeri negativi” nelle lezioni di matematica, ho iniziato a prestare attenzione al fatto che i numeri negativi si trovano anche in altre lezioni. E avevo una domanda: “Ci bastano solo i numeri positivi?” Ciò mi ha spinto ad approfondire l’argomento, Volevo capire che i numeri negativi sono necessari quanto quelli positivi.

Scopo del lavoro: studiare la storia dei numeri negativi ed esplorare l'uso dei numeri negativi.

Compiti:

Raccogliere materiale e studiare letteratura su questo argomento;

Scopri quando e come sono comparsi i numeri negativi;

Esplora l'uso dei numeri negativi;

Comporre problemi utilizzando numeri negativi;

Riassumi il materiale e presentalo ai tuoi compagni di classe.

Ipotesi: Abbiamo bisogno di numeri negativi?

Oggetto di studio : uso dei numeri negativi.

Oggetto della ricerca: numeri negativi

Metodi di ricerca:

Analisi della letteratura utilizzata

Osservazioni

Conversazione

Significato pratico Il lavoro è che l’uso dei numeri negativi contribuisce a un approccio più razionale alla risoluzione dei problemi pratici.

II. Contenuto principale

Parte teorica

La storia dell'emergere dei numeri negativi.

Per studiare la storia dell'emergere dei numeri negativi, mi sono rivolto a ulteriore letteratura e risorse Internet. Ho imparato che i numeri negativi sono comparsi molto più tardi dei numeri naturali e delle frazioni ordinarie.

Le prime idee sui numeri negativi sono sorte prima della nostra era. Quindi, nel 2 ° secolo. A.C Lo scienziato cinese Zhang Can, nel suo libro "Aritmetica in nove capitoli", fornisce regole per gestire i numeri negativi, che interpreta come debito, e quelli positivi come proprietà. Ha scritto i numeri negativi utilizzando inchiostro di colore diverso da quelli positivi.

Nel 3 ° secolo. A.C L’antico matematico greco Diofanto utilizzava effettivamente i numeri negativi, considerandoli come “sottratti” e i numeri positivi come “aggiunti”.

Gli scienziati indiani hanno utilizzato numeri negativi nei calcoli commerciali. Se hai 3000 rubli e acquisti beni per 1000 rubli, ti restano 3000 - 1000 = 2000 rubli. Ma se hai 3.000 rubli e acquisti beni per 5.000 rubli, avrai un debito di 2.000 rubli. Pertanto, in questo caso, si è ritenuto che fosse stata effettuata una sottrazione di 3000 - 5000, il cui risultato sarebbe stato il numero 2000 con il segno meno, che significava “duemila debiti”. Pertanto, - 2000 è un numero negativo e in questo caso indica che hai un debito di 2000 rubli.

Matematico indiano Brahmagupta nel VII secolo. regole formulate per operare su numeri positivi e negativi. Ha espresso le regole per aggiungere numeri positivi e negativi come segue:
“La somma di due proprietà è proprietà”:
(+x)+(+x)=+x“La somma di due debiti è un debito”:
(-x)+(-x)=-x

I numeri negativi finalmente entrarono in uso solo dai tempi del matematico francese R. Descartes (1596 - 1650). Ha dato un'interpretazione geometrica ai numeri negativi come segmenti diretti. Nel 1637 lui

ha introdotto la "linea coordinata".

Solo all'inizio del XIX secolo. numeri negativi ricevuti riconoscimento universale e forma moderna di designazione.

2. Parte pratica

Utilizzo dei numeri negativi

Ho condotto un sondaggio tra gli studenti delle classi 5-11, in cui ho dovuto rispondere a due domande.

Dove vengono utilizzati i numeri negativi oggigiorno?

Perché hai inserito numeri negativi?

Alla prima domanda il 77,5% degli studenti ha risposto, nelle lezioni di matematica, un saldo negativo sul telefono e una scala di temperatura sul termometro. Il 54,7% degli studenti non sa perché ha inserito numeri negativi. I risultati del sondaggio mi hanno spinto a fare delle ricerche. Pertanto, per prima cosa ho deciso di condurre una ricerca sull'uso dei numeri negativi e mi sono rivolto a Internet.

Osserviamo il movimento delle auto sull'autostrada, stando sul lato della strada rivolto verso la strada. Due flussi di auto corrono l'uno verso l'altro. Ad esempio, un Moskvich ci sorpassa a una velocità di 100 km/h e un camion si muove a una velocità di 70 km/h. Ma questi numeri non bastano se si vuole indicare anche la direzione del movimento. Dobbiamo infatti aggiungere che il Moskvich va a destra e il camion a sinistra. Pertanto, per caratterizzare il movimento di un'auto su un'autostrada, è necessario non solo indicare la velocità con cui sta andando (cioè indicare il valore della sua velocità), ma anche spiegare ulteriormente dove e in quale direzione sta andando - a destra o a sinistra. Pertanto, dicono che la velocità delle auto che si muovono a destra è considerata positiva e la velocità delle auto che si muovono a sinistra è negativa. Cioè, il segno del numero indicherà la direzione della velocità (direzione del movimento) delle auto.

Durante l'inserimento della batteria nell'orologio, ho notato che c'era un "+" su un bordo e un "-" sull'altro. Durante il mio corso facoltativo di fisica, ho scoperto che le cariche possono essere positive e negative.

Guardando il tempo dentro tempi diversi anno, ho notato che in inverno la temperatura sul termometro è sotto lo 0 ◦ C, e in estate – sopra 0 ◦ S. Ma in fisica non si possono mettere le parole in una formula, quindi la temperatura è inferiore a 0 ◦ C è indicato con un segno "-" e sopra 0 ◦ C - segno “+”. In matematica, una diminuzione della temperatura è espressa dal segno “-” e un aumento dal segno “+”.

I numeri negativi in ​​biologia esprimono patologie oculari. La miopia (miopia) si manifesta con una diminuzione dell'acuità visiva. Affinché l'occhio possa vedere chiaramente gli oggetti distanti in caso di miopia, vengono utilizzate lenti divergenti (negative).

Diamo un'occhiata alla mappa fisica del mondo. Le aree terrestri su di esso sono dipinte in varie tonalità di verde e marrone, mentre i mari e gli oceani sono dipinti in blu e blu. Ogni colore ha la propria altezza (per la terra) o profondità (per mari e oceani).L'altezza delle montagne viene misurata utilizzando numeri positivi.

La profondità dell'acqua viene misurata utilizzando numeri negativi.

La parola “negativo” è usata nella vita di tutti i giorni molto spesso con una connotazione negativa. Ad esempio, le emozioni umane (pianto). Nelle fiabe, Baba Yaga è usata come un eroe negativo. Ma ci sono momenti in cui accogliamo con favore la parola “negativo”. Ciò accade, ad esempio, quando una persona viene testata per la presenza di qualsiasi infezione nel corpo e Noi ci rallegriamo quando sul certificato viene registrato un risultato negativo; ciò significa che l’agente patogeno non è stato identificato e la persona è sana.

Conclusione: Quindi, i numeri negativi vengono utilizzati per descrivere quantità, processi, fenomeni (e non solo in matematica).La padronanza dei concetti matematici ti consente di vedere l'insolito nei fenomeni familiari e quotidiani.

Dopo aver studiato l'uso dei numeri negativi, ho creato i seguenti problemi che possono essere utilizzati nelle lezioni di matematica.

1. Un'auto si sta muovendo da Krasnoslobodsk a Saransk. Annota le coordinate degli insediamenti e trova la loro posizione rispetto alla città di Krasnoslobodsk.

2. La temperatura dell'aria a Krasnoslobodsk scende di due gradi ogni ora. Adesso il termometro segna -17 gradi. Come cambierà la temperatura dopo tre ore? Disegnalo su una linea di coordinate. Scrivi un'espressione per questo problema. Quale temperatura mostrerà il termometro dopo tre ore?

3.B Nella calda estate, l'acqua nel fiume Moksha scende di 2 metri; quando cadono le precipitazioni (pioggia), aumenta di 3 metri. Disegna i cambiamenti nel livello dell'acqua su una linea di coordinate. Prendi il livello dell'acqua nel fiume come inizio del rapporto. Scrivi le coordinate del livello minimo e massimo dell'acqua.

Perché sono necessari i numeri negativi?

Mentre studiavo un libro di consultazione sulla matematica elementare, ho trovato la risposta alla domanda: "Perché sono stati introdotti i numeri negativi?" Per molto tempo le equazioni venivano studiate senza l'ausilio dei numeri negativi e si presentavano molti inconvenienti. Per eliminare questi inconvenienti furono introdotti i numeri negativi.Allo stesso tempo, per molto tempo, molti eminenti matematici si rifiutarono di introdurli o li introdussero con grande riluttanza.. Pertanto, ho condotto uno studio utilizzando un'equazione lineare come esempio. Quando si risolve un'equazione di primo grado con un'incognita, come l'equazione

7X - 5 = 10x - 11,

trasferiamo i termini in modo che in una parte dell'equazione ci siano quantità note, nell'altra – quantità sconosciute. In questo caso i segni sono invertiti. Raccogliendo le incognite a destra e quelle conosciute a sinistra, otteniamo

11-5 = 10x - 7x;

6 = 3x;

x = 2.

Queste conversioni possono essere eseguite senza utilizzare affatto i numeri negativi e trattando i segni + e - come segni di addizione e sottrazione anziché come segni numerici positivi e negativi. Ma poi bisogna riflettere in anticipo sulla questione: da che parte, a destra o a sinistra, dovrebbero essere trasferiti i membri sconosciuti. Se, ad esempio, nell'equazione 7 X - 5 = 10x – 11 spostando i termini sconosciuti a sinistra, otteniamo

7x-10x = 5-11.

Senza inserire numeri negativi, non possiamo5 sottrarre11 , non possiamo da7x sottrarre10x e, quindi, non possiamo andare oltre nella risoluzione dell'equazione. Nel frattempo non è sempre chiaro in anticipo (soprattutto se i membri sono molti) in quale direzione i membri sconosciuti devono essere trasferiti affinché una situazione del genere non si verifichi. Per razionalizzare il processo computazionale sono stati introdotti i numeri negativi.

Conclusione: I numeri negativi vengono introdotti per eliminare una serie di difficoltà sorte principalmente durante la risoluzione delle equazioni.

III. Conclusione

Riassumendo i risultati del mio lavoro, ho concluso che la maggior parte degli studenti intervistati conosce i numeri negativi, ma ci sono anche quelli la cui rappresentazione dei numeri negativi non è corretta. Studiando la letteratura, mi sono reso conto che i numeri negativi derivavano dai bisogni pratici delle persone.

Lavorando con le fonti, ho scoperto che i numeri negativi sono più comuni nelle scienze esatte, nella matematica e nella fisica. L'introduzione dei numeri negativi è stata associata alla necessità di sviluppare la matematica come scienza che fornisce metodi generali per risolvere problemi aritmetici, indipendentemente dal contenuto specifico e dai dati numerici iniziali. I numeri negativi furono il risultato dell’introduzione di tecniche di razionalizzazione nella pratica informatica. Pertanto sono necessari numeri negativi. Con la loro apparizione ci fu un grande impulso allo sviluppo della scienza.

Elenco della letteratura e delle risorse Internet